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Nota disambigua – Se stai cercando altri significati di Sfera, vedi Sfera (disambigua).

La sfera (dal greco σφαῖρα, sphaîra) è il solido geometrico costituito da tutti i punti che sono ad una distanza minore o eguale a una distanza fissata r, detta raggio della sfera, da un punto O detto centro della sfera.

L'insieme dei punti la cui distanza è eguale a r è detto superficie sferica di centro O e raggio r.

Indice

1 Rappresentazione analitica
2 Area e volume
3 Terminologia
4 Generalizzazioni ad altre dimensioni
5 Generalizzazioni in spazi metrici
6 Formule
- 6.1 Calcolo del volume della sfera con l'aiuto degli integrali
7 Curiosità
8 Voci correlate

modifica Rappresentazione analitica

In geometria cartesiana, una superficie sferica di centro (x₀, y₀, z₀) e di raggio r è rappresentata dall'insieme di punti (x, y, z) tali che

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = r 2

I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & x_0 + r \sin\theta \cos\phi \\ y & = & y_0 + r \sin\theta \sin\phi\\ z & = & z_0 + r \cos\theta \end{matrix} \right.$

dove $θ$ e $φ$ rappresentano la latitudine e la longitudine del punto, variando negli intervalli

$0 \leq \theta \leq \pi, \quad -\pi \leq \phi < \pi.$

Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia $(θ,φ)$ di questo tipo, tranne i poli: la coppia $(0,φ)$ descrive sempre il polo nord, e $(π,φ)$ sempre il polo sud (per qualsiasi valore di $φ$ ).

Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:

$\left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 \end{matrix} \right.$

con a,b,c,d, numeri reali tali che a²+b²+c²-4d >0

modifica Area e volume

L'area della superficie sferica di raggio $r$ è data dall'equazione:

A = 4π r 2

mentre il volume racchiuso dalla sfera di raggio $r$ è dato dall'equazione (integrale in dr della superficie):

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

La dimostrazione di questi fatti può essere ottenuta in modo elementare usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.

La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume. Il cilindro circoscritto ha un volume che è 3/2 volte quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.

Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è r/3.

Una sfera può anche essere definita come formata da un cerchio che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.

modifica Terminologia

Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta asse, poiché è un'asse di simmetria della sfera.

Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.

Se un punto della superficie sferica è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l'asse. Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la terra, anche se non perfettamente sferici.

modifica Generalizzazioni ad altre dimensioni

La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale n, una sfera n-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo (n+1)-dimensionale Rⁿ che hanno una distanza fissata r>0 da un certo punto dello spazio.

una sfera 0-dimensionale è fatta di una coppia di punti {-r, r} in R
una sfera 1-dimensionale è una circonferenza di raggio r nel piano
una sfera 2-dimensionale è la sfera ordinaria
una sfera 3-dimensionale è una sfera nello spazio Euclideo 4-dimensionale.

Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera n-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con Sⁿ.

modifica Generalizzazioni in spazi metrici

Più in generale, in uno spazio metrico (E,d), la sfera di centro x e raggio r>0 è l'insieme

S(x;r) = { y ∈ E | d(x,y) = r } .

Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo Zⁿ con la metrica euclidea, una sfera di raggio r è vuota se e solo se r² non può essere scritto come somma di n quadrati!

modifica Formule

Formule della Sfera
Circonferenza	$U \, = \, 2 \pi r { \color{OliveGreen} \ = \frac{\mathrm dA_\mathrm{PF}}{\mathrm dr} }$
Superficie	$A_O \, = \, 4 \pi r^2 \, { \color{OliveGreen} \ = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr} }$
Volume	$V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3 = \int_0^r A_O \mathrm dr$
Area di un cerchio massimo	$A_\mathrm{PF} \, = \, \pi r^2 = \int_0^r U \mathrm dr$
Volume di un segmento di sfera	$V_\mathrm{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)$
Area di una calotta sferica	$A_\mathrm{KK} \, = \, 2 r h \pi = 2 r^2 \pi \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)$
Momento d'inerzia	$J \, = \, \frac{2}{5} mr^2$

In queste formule con $r \,$ si intende il raggio della sfera, con $h \,$ l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, con $\alpha \,$ l'ampiezza in steradianti della calotta.

modifica Calcolo del volume della sfera con l'aiuto degli integrali

Raggio alla distanza x

$s =\sqrt{r^2 - x^2}$

Area alla distanza x

A x = s 2 π

Volume della sfera $V$

$V = \int_{-r}^r {A_x dx} = \int_{-r}^r {s^2 \pi dx} = \int_{-r}^r {\left( {r^2 - x^2 } \right)} \pi dx = \int_{-r}^r {r^2 } \pi dx - \int_{-r}^r {x^2 } \pi dx$

$V = r^2 \pi \left[ x \right]_{-r}^r - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{-r}^r$

$V = r^2 \pi \left[ r - (-r)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - {2 \over 3}\pi r^3 = {4 \over 3}\pi r^3$

Allo stesso modo si può calcolare il volume $V KS$ di un segmento di sfera di altezza $h$

$V_\mathrm{KS} = \int_{r-h}^r {A_x dx} = r^2 \pi \left[ x \right]_{r-h}^r - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{r-h}^r$

$V_\mathrm{KS} = r^2 \pi \left[ r - (r-h)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^3-(r-h)^3\right] = \pi r^2 h - \frac{1}{3}\pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right]$

$V_\mathrm{KS} = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - {1 \over 3}\pi h^3 = {\pi h^2 \over 3} (3r-h)$

modifica Curiosità

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Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora i migliori risultati sono stati ottenuti dalla NASA, in occasione della costruzione di due sfere da impiegare per un satellite artificiale.

modifica Voci correlate

Topologia

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