Obiekt początkowy (końcowy) - dla ustalonej kategorii C, obiekt e o tej własności, że dla każdego obiektu a tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm h: e →a (h: a →e). Obiekt początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu. Obiekt który jest jednocześnie początkowy i końcowy nazywany jest obiektem zerowym kategorii C.
edytuj Przykłady
- Zbiór pusty jest obiektem początkowym w kategorii wszystkich zbiorów. Każdy zbiór jednoelementowy jest obiektem końcowym tej kategorii.
- W kategorii wszystkich grup, obiektem początkowym, a zarazem końcowym (a więc zerowym), jest grupa jednoelementowa.
- W kategorii wszystkich pierścieni z jedynką, obiektem początkowym jest pierścień liczb całkowitych, obiektem końcowym, natomiast, pierścień zerowy.
- Każdy zbiór częściowo uporządkowany (P, ≤) może być rozpatrywany jako kategoria, której obiektami są elementy zbioru P. Powiemy, że istnieje morfizm między elementami x,y zbioru P wtedy i tylko wtedy, gdy x≤y. Kategoria ta ma obiekt początkowy (końcowy) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze P istnieje element najmniejszy (największy).
edytuj Bibliografia
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987, s. 66.