 |
Zasugerowano, aby artykuł Kongruencja zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja) |
W matematyce, wynik ilorazu dwóch liczb całkowitych zazwyczaj nie może być wyrażony liczbą całkowitą, jeżeli nie użyjemy pojęcia reszty − "pozostałości" po dzieleniu.
Spis treści |
edytuj Reszta dla liczb naturalnych
Jeżeli a i d są liczbami naturalnymi, gdzie d nie jest zerem, można udowodnić, że istnieją unikalne liczby całkowite q i r, gdzie a = qd + r
i 0 ≤ r < d. Liczba q zwana jest ilorazem, zaś r resztą.
edytuj Przykłady
- Kiedy dzielimy 13 przez 10, 1 jest ilorazem, a 3 jest resztą, gdyż 13 = 1×10 + 3.
- Kiedy dzielimy 26 przez 4, 6 jest ilorazem, a 2 jest resztą, gdyż 26 = 6×4 + 2.
- Kiedy dzielimy 56 przez 7, 8 jest ilorazem, a 0 jest resztą, gdyż 56 = 7×8 + 0.
edytuj Przypadek liczb całkowitych
Jeżeli a i d są liczbami całkowitymi, gdzie d nie jest zerem, wtedy reszta jest liczbą całkowitą taką, że a = qd + r dla pewnego q i przy
0 ≤ |r| < |d|. Kiedy definiujemy w ten sposób istnieją dwie możliwe reszty. Na przykład, dzielenie −42 przez −5 może być wyrażone jako
- −42 = 9×(−5) + 3
albo
- −42 = 8×(−5) + (−2).
Tak więc resztą jest 3 lub −2.
Ta dwuznaczność wartości reszty nie jest niczym zagadkowym. W przypadku powyżej, reszta ujemna jest uzyskiwana poprzez odjęcie 5, które stanowi d. Ta metoda sprawdza się również dla innych liczb całkowitych. Dzieląc przez d, jeśli dodatnią resztą jest r1, a ujemną r2, wtedy
- r1=r2+d.
edytuj Przykład
Przy dzieleniu liczb ujemnych, można "intuicyjnie" uzyskać następujący wynik:
7 : 3 = 2 reszty 1 -7 : 3 = -2 reszty -1
Gdy przeniesiemy to na ujemny dzielnik - choć jest to już mniej "intuicyjne" - otrzymamy:
7 : -3 = -2 reszty 1 -7 : -3 = 2 reszty -1
(przy wyborze całkowitego wyniku dzielania i reszty najpierw nie uwzględniliśmy znaku, a wstawiliśmy go dopiero po uzyskaniu wyniku na wartościach bezwzględnych). Jako całkowity wynik dzielenia wybierana jest liczba, której wartość bezwzględna jest mniejsza lub równa wymiernemu wynikowi dzielenia. Reszta z dzielenia (w tym jej znak) wynikają z wyboru wyniku dzielenia.
Należy zauważyć, że polecenia DIV oraz MOD (dla dzielenia z resztą) w większości języków programowania (a nawet np. w procesorach firmy Intel 80x86) dają wyniki zgodne z tym "intuicyjnym" podejściem.
W matematyce korzysta się zazwyczaj z konwencji, że znak reszty z dzielenia jest zgodny ze znakiem dzielnika. Wtedy uzyskamy:
7 : 3 = 2 reszty 1 -7 : 3 = -3 reszty 2 7 : -3 = -2 reszty -1 -7 : -3 = 3 reszty -2
co ma tę zaletę, że przynależność liczby do ciała ℤp można odczytać bezpośrednio z reszty z dzielenia.
Niektóre języki programowania oraz numeryczne i symboliczne systemy obliczeniowe w związku z tą niejednoznacznością definiują dwie pary operatorów. Dla przykładu programując w języku Ada można korzystać z
- (A rem B) przy czym reszta z dzielenia ma taki zam znak, jak A i wartość bezwzględną mniejszą niż wartość bezwzględna B
- (A mod B) ma ten sam znak, co B i wartość bezwzględną mniejszą niż wartość bezwzględna B