Twierdzenie Bayesa to twierdzenie teorii prawdopodobieństwa. Ma ono bardzo prostą postać, jednak staje się bardzo istotne przy pewnej jego interpretacji.
Spis treści |
edytuj Wzór Bayesa
edytuj Teza
Niech :
.
Wtedy:
edytuj Dowód
.
edytuj Interpretacje
edytuj Prawdopodobieństwo subiektywistyczne
W interpretacji subiektywistycznej jest twierdzeniem wręcz podstawowym. Otóż niech X będzie pewnym zdarzeniem, T zaś pewną teorią.
P(X) jest więc obserwowanym prawdopodobieństwem X, zaś P(X | T) to prawdopodobieństwo, że X nastąpi według teorii T. Z kolei P(T) to prawdopodobieństwo, że teoria T jest prawdziwa, P(T | X) to prawdopodobieństwo, że teoria T jest prawdziwa, jeśli zaobserwowano X.
Zdania typu "prawdopodobieństwo, że teoria T jest prawdziwa" są z punktu widzenia interpretacji obiektywistycznej nie do przyjęcia – teoria jest prawdziwa (prawdopodobieństwo równe jedności) lub też nie (prawdopodobieństwo równe zeru), czyli prawdziwość teorii nie jest zdarzeniem losowym.
edytuj Zastosowania
W praktyce używa się zazwyczaj przekształconej wersji twierdzenia Bayesa, gdzie P(X) wyrażone jest jako suma lub całka po T:
.
edytuj Przykład użycia
Twierdzenia Bayesa można użyć do interpretacji rezultatów badania przy użyciu testów wykrywających narkotyki. Załóżmy, że przy badaniu narkomana test wypada pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy badaniu osoby nie zażywającej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiła przebadać swoich pracowników takim testem wiedząc, że 0,5% z nich to narkomani. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba u której test wypadł pozytywnie rzeczywiście zażywa narkotyki. Oznaczmy następujące zdarzenia:
- D - dana osoba jest narkomanem
- N - dana osoba nie jest narkomanem
- + - u danej osoby test dał wynik pozytywny
- − - u danej osoby test dał wynik negatywny
Wiemy, że:
- P(D) = 0,005, gdyż 0,5% pracowników to narkomani
- P(N) = 1 − P(D) = 0,995
- P( + | D) = 0,99, gdyż taką skuteczność ma test przy badaniu narkomana
- P( − | N) = 0,99, gdyż taką skuteczność ma test przy badaniu osoby nie będacej narkomanem
- P( + | N) = 1 − P( − | N) = 0,01
Mając te dane chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba u której test wypadł pozytywnie, rzeczywiście jest narkomanem. Tak więc:
Mimo potencjalnie wysokiej skuteczności testu, prawdopodobieństwo, że narkomanem jest badany pracownik u którego test dał wynik pozytywny, jest równe około 33%, więc jest nawet bardziej prawdopodobnym, ze taka osoba nie zażywa narkotyków. Ten przykład pokazuje, dlaczego ważne jest, aby nie polegać na wynikach tylko pojedynczego testu.