Twierdzenie Cantora to twierdzenie teorii mnogości głoszące, że każdy zbiór ma moc mniejszą niż rodzina jego wszystkich podzbiorów, czyli jego zbiór potęgowy.
edytuj Dowód
Niech f będzie dowolną funkcją z danego zbioru A w jego zbiór potęgowy P(A). Zdefiniujmy zbiór B jako zbiór tych elementów zbioru A, które nie należą do swoich obrazów w odwzorowaniu f:
Zbiór B, jako podzbiór zbioru A, jest oczywiście elementem zbioru potęgowego A:
Tak zdefiniowany zbiór nie jest obrazem żadnego elementu zbioru B, gdyż element taki należałby wówczas do swego obrazu – a zbiór B składa się z elementów, które nie należą do swych obrazów. Zbiór B nie jest również obrazem żadnego elementu dopełnienia 
, bowiem taki element – jako nie należący do swego obrazu – winien należeć do B.
Wobec powyższego zbiór B (element zbioru potęgowego P(A)) nie jest obrazem żadnego elementu zbioru A w odwzorowaniu f – zatem funkcja f nie jest suriekcją (funkcją "na"), a zatem nie jest też bijekcją (funkcją wzajemnie jednoznaczną).
A skoro nie istnieje bijekcja ze zbioru A na P(A), to zbiór A nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym P(A). Wiadomo również, że nie może mieć mocy większej od zbioru potęgowego, gdyż jest równoliczny z jego podzbiorem właściwym – istnieje iniekcja z A w P(A), przypisująca każdemu elementowi x jego singleton:
Zatem moc zbioru A jest mniejsza niż jego zbioru potęgowego:
- | A | < | P(A) |
– czego należało dowieść.
Zauważmy, że powyższy dowód jest (z uwagi na postać wyrażenia 
) w istocie rozumowaniem przekątniowym.
edytuj Historia
Cantor podał podobny dowód w pracy Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (1890/91) (w tej samej pracy zastosował też metodę przekątniową dla dowodu nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, którą wcześniej wykazywał innymi metodami). Dowód ów Cantor sformułował w terminach funkcji charakterystycznych zbioru, nie podzbiorów zbioru, jak się go formułuje obecnie. Wykazał w nim, że jeśli f jest funkcją w zbiorze X, której wartościami są dwuwartościowe multifunkcje na zbiorze X, to multifunkcja 
nie należy do zbioru wartości f.
Podobny dowód pojawił się w Principia mathematica Whiteheada i Russella (1903, rozdział 348), gdzie pokazuje się, że form zdaniowych jest więcej niż obiektów. Russell przypisuje ideę dowodu Cantorowi.
Ernst Zermelo cytuje twierdzenie Cantora w pracy Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I (1908).
Zobacz też: skala betów.