Wikipedia Gupiki Online ** www.ozdoby-akwariowe.gupiki.info **

Jakas reklama

Twierdzenie Darboux – twierdzenie analizy opisujące przebieg rzeczywistej funkcji ciągłej. Jego nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Jeana Darboux.

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Dowód topologiczny
- 2.1 Lemat
  - 2.1.1 Dowód Lematu
3 Dowód analityczny
- 3.1 Uwaga
4 Twierdzenie Cauchy'ego
- 4.1 Sformułowanie
5 Zobacz też

edytuj Twierdzenie

Niech $f: [a, b] \to \mathbb R$ będzie funkcją ciągłą oraz $f(a) \ne f(b)$ . Niech $d$ spełnia nierówność $f (a) < d < f (b)$ . Istnieje wówczas taki punkt $c \in [a, b]$ , że $f (c) = d$ .

edytuj Dowód topologiczny

Oznaczmy przez $B:=\operatorname{Im} f = \{f(x): x \in [a,b]\}$ , czyli obraz przedziału $a, b$ .

Zbiory $B_1 = B \cap (-\infty, d)$ oraz $B_2 = B \cap (d, \infty)$ są otwartymi podprzestrzeniami przestrzeni $B$ . Z poniższego lematu mamy, że zbiór $B$ jako ciągły obraz przestrzeni spójnej również musi być spójny. Niemożliwe jest więc, że $B = B_1 \cup B_2$ , dlatego też $d \in B$ .

edytuj Lemat

Niech $g: X \to Y$ jest funkcją ciągłą między przestrzeniami topologicznymi, zaś $U$ będzie dowolnym podzbiorem spójnym przestrzeni $U$ . Wówczas obraz $g (U)$ jest spójny.

Równoważne sformułowanie: każda funkcja ciągła ma własność Darboux.

edytuj Dowód Lematu

Rozumowanie nie wprost. Jeżeli $g (V)$ (dla pewnego $V \subseteq X$ ) jest niespójny, to istnieje funkcja ciągła $h: g(V) \to \{0,1\}$ , która jest "na" ${0,1}$ . Wtedy funkcja $h \circ g: V \to \{0,1\}$ jest ciągła i "na" ${0,1}$ , a więc $V$ jest niespójny. Zatem obraz zbioru spójnego jest spójny.

edytuj Dowód analityczny

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi $(a_n)_{n=0}^\infty$ , $(b_n)_{n=0}^\infty$ , $(c_n)_{n=0}^\infty$ , spełniające następujące warunki:

$a 0 = a, b 0 = b$ ,
$c_n = {a_n + b_n \over 2}$ dla każdego $n$ ,
$f(a_n) \le d \le f(b_n)$ ,
$a_n\le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n$ ,
$b_{n+1} - a_{n+1} = \frac12 (b_n - a_n)$ .

Gdy mamy już $a n$ i $b n$ , definiujemy $c_n := \frac12(a_n+b_n)$ .

Jeśli $f(c_n) \le d$ , to definiujemy

a n + 1 = a n

b n + 1 = c n

w przeciwnym przypadku

a n + 1 = c n

b n + 1 = b n

Teraz łatwo udowadnia się, że $f\left(\lim_{n \to \infty} a_n\right) \le d \le f\left(\lim_{n \to \infty} b_n\right)$ i $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$ , więc $f\left(\lim_{n \to \infty} a_n\right) =d$ .

edytuj Uwaga

Ten dowód nie jest konstruktywny w sensie intuicjonizmu, gdyż intuizjonizm nie pozwala na decyzję, czy dana liczba $x$ jest mniejsza, równa lub większa od zera.

edytuj Twierdzenie Cauchy'ego

Twierdzenie Cauchy'ego jest przydatnym wnioskiem wynikającym z wprost z twierdzenia Darboux. Otrzmało ono swoją nazwę od nazwiska matematyka francuskiego, Cauchy'ego.

edytuj Sformułowanie

Jeżeli $f (x)$ jest funkcją ciągłą w przedziale $a, b$ i $f(a) \cdot f(b) < 0$ , to istnieje taki punkt $c \in (a, b)$ , że $f (c) = 0$ .

Innymi słowy, z ciągłości funkcji w ustalonym przedziale wynika, że funkcja zmieniając znak (przechodząc z wartości ujemnych na dodatnie lub odwrotnie) musi przejść przez punkt, w którym jej wartość wynosi zero.

www.ozdoby-akwariowe.gupiki.info